VELOCITA’, ACCELERAZIONE  E FORZA NEL MOTO ARMONICO

 

I Grafici s-t, v-t, a-t, F-t I Essi si prestano ad alcune considerazioni interessanti. Tutti mostrano un andamento sinusoidale. Un confronto tra i grafici di posizione e accelerazione evidenzia che quando l’allungamento della molla assume il valore massimo, l’accelerazione è minima e viceversa: si dice che i grafici sono in opposizione di fase; ma questo avviene quando le due funzioni sinusoidali che li descrivono differiscono solo per un segno cioè per un meno davanti. Invece osservando i grafici spostamento-velocità e velocità-accelerazione si osserva uno sfasamento di un quarto di periodo: una tale sfasamento trasforma una funzione seno in coseno. Il grafico della forza, non riportato per motivi di spazio, mostra invece di seguire lo stesso andamento dell’accelerazione, vale a dire che è in fase con essa.

L’analisi dei grafici e la constatazione che un moto armonico può essre assimilato ad un moto circolare visto di profilo, permette di giungere alle seguenti formule:

 

 

 

 

 

 

(2)                    spostamento del moto armonico (legge oraria)

 

 (3)  v(t) = - wSmax sen wt           velocità del moto armonico

 

 (4)  a(t) = -w2Smax cos wt           accelerazione del moto armonico

 

Se si esegue il rapporto tra la (2) e la (4) si ottiene:   S/a = -1/w2      ovvero

 

(5)  a = -w2 S

 

Questa formula al pari della legge oraria (2) viene di solito assunta come legge del moto armonico.

 

Avevamo osservato che la causa che determina il moto rettilineo uniforme di un corpo è la sua l'inerzia, volendo con ciò indicare che un corpo manifesta una "resistenza naturale" a qualunque tentativo di cambiare la velocità. Invece la causa del moto accelerato erano le forze, costanti se il moto era uniformemente accelerato. Dalla (5) risulta evidente che la forza che deve sollecitare un corpo a muoversi di moto armonico deve essere variabile e tenendo presente il secondo principio della dinamica, otteniamo:

 

(6)   F = ma = m (-w2 S ) = -mw2 S          forza nel moto armonico

 

Questa formula indica che un corpo di massa m è animato da moto armonico quando su di esso agisce una forza F la cui intensità e direttamente proporzionale al suo spostamento S (valutato rispetto alla posizione in cui la forza è nulla), la cui direzione coincide con quello dello spostamento e il cui verso gli è opposto.

 

Come già ricordato, un classico esempio di forza generatrice del moto armonico cioè di forza del tipo (6) è la forza elastica. Ricordiamo che, quando una molla viene deformata entro certi limiti, si sviluppa in essa una forza di richiamo proporzionale all'entità della deformazione, di verso opposto ad essa e descritta vettorialmente da una relazione tipo (6). Infatti indicata con x la deformazione della molla rispetto alla sua posizione di riposo e con k la costante elastica della molla si può scrivere:

 

(7)  F = -kx

  

Il moto di un corpo di massa m sottoposto ad una forza di tipo elastico sarà perciò un moto armonico. Tenendo presente che la deformazione x della molla è lo spostamento S  del corpo P associato a tale deformazione, si ottiene, confrontando la (6) e la (7) che:  k = m w2 da cui, ricordando che w = 2p / T:


 

 


 

 

 


La (7) mette in evidenza che il periodo di oscillazione di un corpo soggetto all'azione di una forza elastica del tipo F = - kx è tanto maggiore quanto maggiore e la sua massa e quanto minore è il valore della costante k della molla. In altre parole, un periodo molto breve, cioè una pulsazione elevata è favorita da una molla piuttosto dura (k grande) e un corpo leggero (m piccola).

 

Il campo di frequenze degli oscillatori naturali è assai vasto. La Terra scossa da un terremoto può oscillare a frequenze più basse di 1 Hz. La molecola di monossido di carbonio vibra ad una frequenza di 1014 Hz. Sia se la frequenza è alta o bassa c'è una importante proprietà che tutti gli oscillatori hanno in comune: la frequenza è indipendente dall'ampiezza dell'oscillazione. Galileo scoprì questa proprietà nel 1581, chiamata isocronismo delle piccole oscillazioni, osservando le oscillazioni di una lampada nella cattedrale di Pisa. Effettivamente, quando guardiamo all'equazione (7) e (8) l'ampiezza non entra nella discussione.